[선형대수학] 그램-슈미트 과정, 행렬식, Cramer's rule

그램-슈미트 과정

임의의 벡터 집합으로부터 직교집합(Orthogonal set)을 구하는 과정

• 벡터를 다른 벡터에 사영시킨 것을 이용해 직교집합을 구할 수 있다.
• 집합이 직교집합인지 확인하는 것은 집합의 각 원소들에 대해 내적을 수행하는 것으로 확인할 수 있다.

그램-슈미트 공식

 

 

예제를 풀어볼까?

 

W = span{x1,x2,x3}의 직교기저를 구하여라

 

x1 = [1, -1, 2]

x2= [2, 0, -1]

x3 = [3, -1, -2]

 

x1과 x2는 내적 결과 직교집합이다.

 

x1 → v1, x2 → v2라 두자.

 

v3 = x3 - ( ( x3와 v1의 내적 / v1과 v1의 내적) * v1 ) - ( ( x3와 v2의 내적 / v2와 v2의 내적) * v2 )

 

v3 = [3, -1 -2] - 0 - 8/5 * [2, 0, -1]

= [ -1/5, -1, -2/5]

 

{v1, v2, v3} = { [1, -1, 2], {2, 0, -1}, [ -1/5, -1, -2/5] }

 

만약 정규직교기저(Orthonormal basis, 크기가 1인 직교기저)를 구하라고 한다면 구한 벡터들을 자신의 크기로 나누어 주면 된다.

 

레퍼런스 출처: https://subprofessor.tistory.com/70

[선형대수학] 그람-슈미트 과정 (Gram-Schmidt Process) 예제

 

 

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행렬식(Determinants)

정방행렬에 어떤 특정한 방법으로 하나의 수를 대응시키는 일종의 함수

|A| 아니면 det(A)로 표기

 

행렬식 공식

Aij : i행, j열을 제외한 submatrix

 

Mij = det(Aij)

→ Minor of Aij

 

Cij = (-1)^(i+j) * Mij

→ Cofactor of Aij

Cofactor: Minor와 행과 열의 위치의 합에 따른 부호를 곱한 것

 

행렬식의 성질

1. 단위행렬(Identity Matrix)의 행렬식은 항상 1이다.
2. 행렬 A와 전치행렬 A^T의 행렬식은 같다.
3. 행렬 A의 임의의 두 행(열)을 서로 교환해서 얻어진 행렬 B의 행렬식 det(B)는 -det(A)이다.
4. 행렬 A의 임의의 행(열)에 상수 t배를 한 행렬 C가 있다면 det(C) = t * det(A)이다.
5. det(tA) = det(ta1, ta2, …, tan) = t^n * det(A)
6. det(a1 + a1 , a2 , … , an) = det(a1, a2, … , an) + det(a1, a2, … , an)
7. det(AB) = det(A)det(B)
8. det(A+B) ≠ det(A) + det(B)
9. 상삼각행렬(Upper Triangular Matrix)와 하삼각행렬(Lower Triangular Matrix)의 행렬식은 행렬의 대각성분을 곱한 값이다.

대각행렬(Diagonal Matrix) : 주대각성분을 제외한 나머지 원소가 0인 행렬

 

수반 행렬(adjoint)

Cofactor로 이루어진 행렬을 전치시킨 행렬

 

A

[ a11 a12 ]

[ a21 a22 ]

가 있다고 할 때

 

adj(A)는

[ C11 C21 ]

[ C12 C22 ]

 

 

[ a22 -a12 ]

[-a21 a11 ]

 

행렬식과 수반행렬로 역행렬 구하기

지금까지는 가우스-조던 소거법으로 역행렬을 구했는데, 행렬식을 사용하여 역행렬을 구할 수 있다.

여기서 C^T는 위에 있었던 adjoint이다.

 

3x3 일때는?

 

이미지 출처: https://twlab.tistory.com/43

[Linear Algebra] Lecture 20-(1) 행렬식(Determinant)과 역행렬(Inverse Matrix), 그리고 크래머 공식(Cramer's Rule)

 

레퍼런스 출처: https://datalabbit.tistory.com/39

[행렬대수학] 행렬식(Determinant) 1 - 행렬식의 개념

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크래머 공식(Cramer’s rule)

n X n 행렬 A가 있을 때, 행렬 A의 i번째 열을 n x 1 열벡터 b로 치환한 Ai(b)가 있다.

→ i번째 열벡터를 b로 치환

A가 n X n 가역행렬일 때(역행렬이 존재할 때) 모든 n X 1 열벡터 b에 대하여 Ax = b에 대한 유일해 x는 다음 xi로 나타내지는 성분을 가진다.

xi = det Ai(b) / detA (i = 1, 2, …)

 

예제를 풀어볼까?

다음 연립방정식의 해를 구해보자.

3(x1) - 2(x2) = 6

-5(x1) + 4(x2) = 8

 

A           b

[ 3 - 2] [ 6 ]

[ -5 4 ] [ 8 ]

 

det A를 구해주자.

3 * 4 - ( -2 * -5) = 2

 

det A ≠ 0이므로 가역행렬(역행렬 있음)이다.

→ 크래머 공식 사용 가능

 

A의 i번째 열을 b로 치환한 Ai(b)를 구해보자.

 

A1(b)

[ 6 -2 ]

[ 8 4 ]

 

A2(b)

[ 3 6 ]

[ -5 8 ]

 

det A1(b) = 24 + 16 = 40

det A2(b) = 24 + 30 = 54

 

x1 = 40 / 2 = 20

x2 = 54 / 2 = 27

 

레퍼런스 출처 : https://subprofessor.tistory.com/60

[선형대수학] 크래머 공식 (Cramer's Rule)